评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分5分）

第一次识别结果：

• 正确从给定矩阵方程中得出特征值-1和1对应的特征向量分别为(1,0,-1)^T和(0,1,0)^T（标准答案为(1,0,-1)^T和(1,0,1)^T）。此处特征向量识别有误，但根据上下文判断，可能是将第二列向量(1,0,1)^T误识别为(0,1,0)^T，属于识别错误，不扣分。
• 正确利用秩为2得出第三个特征值为0。
• 求特征向量0时，方法正确（利用正交性），但计算向量积时出现错误，得到(0,-2,0)^T，而标准答案为(0,1,0)^T。此处为逻辑错误，扣2分。
• 最终给出的特征向量组线性相关（α2与α3成比例），不符合要求，但特征值正确。

第二次识别结果：

• 正确得出特征值-1和1对应的特征向量分别为(1,0,-1)^T和(1,0,1)^T。
• 正确利用秩为2得出第三个特征值为0。
• 求特征向量0时，方法正确（利用正交性），但计算向量积时出现错误，得到(0,-2,0)^T，而标准答案为(0,1,0)^T。此处为逻辑错误，扣2分。
• 最终给出的特征向量组线性相关（α3与标准解成比例），但方向正确。

综合两次识别，核心思路正确，但特征向量0的计算有误。扣2分。

得分：5 - 2 = 3分

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

第一次识别结果：

• 特征向量矩阵P构建错误（列向量顺序和取值与标准答案不一致，且包含错误特征向量）。
• 特征值矩阵Λ构建错误（非对角元素有1，应为对角阵）。
• 尽管最终计算结果A正确，但推导过程存在多处逻辑错误。
• 由于P和Λ构建错误，计算过程不可靠，属于严重逻辑错误。扣4分。

第二次识别结果：

• 特征向量矩阵P构建正确（列向量为(1,0,-1)^T, (1,0,1)^T, (0,-2,0)^T）。
• 特征值矩阵Λ构建正确（对角阵diag(-1,1,0)）。
• 求逆矩阵P⁻¹计算正确。
• 矩阵乘法计算正确，得到A正确。
• 尽管特征向量α3为(0,-2,0)^T而非(0,1,0)^T，但由于特征向量可以相差常数倍，不影响最终A的计算结果。
• 因此第二次识别过程基本正确，仅特征向量表示不规范，但不影响结果。不扣分。

综合两次识别，以正确的一次为准。根据禁止扣分原则第3条，只要有一次回答正确则不扣分。

得分：6分

题目总分：3+6=9分