评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是 \(3x + 4y - z = 0\)。

要判断该答案是否正确，需要计算曲面在给定点的切平面方程。曲面由方程 \(z = f(x, y) = x + 2y + \ln(1 + x^2 + y^2)\) 给出。在点 \((0,0,0)\) 处的切平面方程公式为： \(z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)\)。

首先计算偏导数： \(f_x = 1 + \frac{2x}{1+x^2+y^2}\), \(f_y = 2 + \frac{2y}{1+x^2+y^2}\)。

在点 \((0,0)\) 处： \(f_x(0,0) = 1 + 0 = 1\), \(f_y(0,0) = 2 + 0 = 2\)。

因此，切平面方程为： \(z - 0 = 1 \cdot (x - 0) + 2 \cdot (y - 0)\)，即 \(z = x + 2y\)，或写作标准形式 \(x + 2y - z = 0\)。

标准答案为 \(x + 2y - z = 0\)，而学生答案为 \(3x + 4y - z = 0\)。学生答案中的法向量 \((3, 4, -1)\) 与标准答案的法向量 \((1, 2, -1)\) 不成比例，因此是错误的。

该学生答案存在逻辑错误：计算出的切平面法向量不正确。这可能是由于偏导数计算错误或代入点坐标时出错所致。

根据打分要求，答案错误且存在逻辑错误，故本题得分为0分。

题目总分：0分