评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是“0”。题目要求计算傅里叶余弦级数展开中偶数项系数之和 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_{2n}\)。

分析过程：函数 \(f(x)\) 定义为周期为2的周期函数，且在 \([0,1]\) 上为 \(f(x) = 1 - x\)。由于傅里叶展开只包含余弦项（即 \(b_n = 0\)），这表明函数被偶延拓了。一个关键的性质是，将函数进行偶延拓后，如果原函数满足 \(f(1-x) = -f(x)\) 在区间 \([0,1]\) 上成立，那么它的傅里叶余弦级数将只包含奇数次谐波（即 \(a_{2n} = 0\)）。验证该性质：在区间 \([0,1]\) 上，计算 \(f(1-x) = 1 - (1-x) = x\)，而 \(-f(x) = -(1-x) = x-1\)。显然，\(f(1-x) = x\) 不等于 \(-f(x) = x-1\)。因此，函数并不满足使所有偶数次系数为零的奇对称性质。

正确的解法是直接计算傅里叶余弦系数 \(a_n\)。系数公式为 \(a_n = 2 \int_0^1 f(x) \cos(n\pi x) dx\)。代入 \(f(x) = 1-x\) 进行计算： \[ a_n = 2 \int_0^1 (1-x) \cos(n\pi x) dx \] 通过分部积分可得 \(a_n = \frac{2(1 - \cos(n\pi))}{n^2 \pi^2}\)。由于 \(\cos(n\pi) = (-1)^n\)，所以 \(a_n = \frac{2(1 - (-1)^n)}{n^2 \pi^2}\)。当 \(n\) 为偶数时，\((-1)^n = 1\)，因此 \(a_{2n} = 0\)。所以，\(\sum_{n=1}^{\infty} a_{2n} = 0\)。

学生的答案“0”与最终正确结果一致。虽然学生的作答没有提供任何解题过程，但填空题通常只根据最终答案的正误给分。答案正确，故应得满分。

得分：5分

题目总分：5分