评分及理由

（1）得分及理由（满分5.5分）

第1次识别结果中，学生正确写出了概率密度函数和似然函数，但在取对数时出现错误：\(\ln L(\sigma^2)=-n\ln\sqrt{2\pi}\sigma+\frac{n}{2}\sum_{i = 1}^{n}\frac{(x_i-\mu_0)^2}{2\sigma^2}\) 应为 \(\ln L(\sigma^2)=-\frac{n}{2}\ln(2\pi)-\frac{n}{2}\ln\sigma^2-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu_0)^2\)。不过后续求导过程基本正确，最终得到了正确的最大似然估计 \(\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu_0)^2\)。

第2次识别结果中，学生正确写出了概率密度函数、似然函数和对数似然函数，求导过程正确，最终得到了正确的最大似然估计。

由于两次识别中至少有一次完全正确，且核心逻辑正确，但第1次识别存在计算步骤错误，扣1分。得分：5.5 - 1 = 4.5分。

（2）得分及理由（满分5.5分）

第1次识别结果中，学生错误地计算了 \(E(\hat{\sigma}^2)=\frac{\sigma^2}{n(n-1)}\) 和 \(D(\hat{\sigma}^2)=\frac{\sigma^2}{n^2}\)，这些结果与标准答案不符，存在严重逻辑错误。

第2次识别结果中，学生正确计算了 \(E(\hat{\sigma}^2)=\sigma^2\) 和 \(D(\hat{\sigma}^2)=\frac{2\sigma^4}{n}\)，推导过程合理，使用了χ²分布的性质。

由于两次识别中至少有一次完全正确，且第1次识别的错误可能是识别问题，不扣分。得分：5.5分。

题目总分：4.5+5.5=10分