评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

本题满分为10分。学生的作答分为两次识别结果。

第一次识别结果：学生首先将原式化为指数形式，这是正确的思路。但在后续步骤中，学生错误地使用了等价无穷小替换：在指数位置，将 \(\frac{1}{e^x-1}\) 替换为 \(\frac{1}{x}\)，并将 \(\ln[\frac{\ln(1+x)}{x}]\) 替换为 \([\frac{\ln(1+x)}{x}-1]\)，这一步的替换逻辑不严谨，因为等价无穷小替换通常不能直接用于加减运算或指数位置的乘除运算，除非是作为整个因子的替换。更关键的是，学生在计算 \(\frac{1}{x} \cdot \frac{x}{2}\) 时，得到了 \(e^{\frac{1}{2}}\)，但正确的中间结果应为 \(e^{-\frac{1}{2}}\)，这是一个严重的计算错误。因此，第一次识别结果存在逻辑错误和计算错误，不能得分。

第二次识别结果：学生同样先化为指数形式。在步骤一中，学生试图论证 \(\ln[\frac{\ln(1+x)}{x}] \sim \frac{\ln(1+x)}{x}-1\)，这个等价关系在 \(x \to 0\) 时是成立的（因为 \(\ln(1+u) \sim u\) 当 \(u \to 0\)，且此处 \(u = \frac{\ln(1+x)}{x}-1 \to 0\)），因此这一步的替换在极限的指数运算中是允许的，思路正确。在步骤二中，学生使用了更精确的泰勒展开：\(e^x -1 \sim x\) 和 \(\ln(1+x) = x - \frac{1}{2}x^2 + o(x^2)\)。代入后进行计算：

\(\frac{1}{e^x-1} [\frac{\ln(1+x)}{x}-1] \sim \frac{1}{x} [\frac{x - \frac{1}{2}x^2 + o(x^2)}{x} - 1] = \frac{1}{x} [1 - \frac{1}{2}x + o(x) - 1] = \frac{1}{x} [-\frac{1}{2}x + o(x)] = -\frac{1}{2} + o(1)\)

最终极限为 \(e^{-\frac{1}{2}}\)。这个计算过程逻辑正确，与标准答案结果一致。学生自己在第二次识别的最后也指出了图片...