评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生使用拉格朗日中值定理证明不等式，思路正确。具体过程：设 \(f(x) = \ln x\)，在区间 \([n, n+1]\) 上应用拉格朗日中值定理，存在 \(\xi \in (n, n+1)\) 使得 \(\ln(n+1) - \ln n = \frac{1}{\xi}\)。由于 \(n < \xi < n+1\)，有 \(\frac{1}{n+1} < \frac{1}{\xi} < \frac{1}{n}\)，即 \(\frac{1}{n+1} < \ln(1+\frac{1}{n}) < \frac{1}{n}\)。证明完整且逻辑清晰，与标准答案方法不同但正确，不扣分。得5分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生证明数列收敛时，先证单调性：由 (1) 知 \(\ln(1+\frac{1}{n}) > \frac{1}{n+1}\)，故 \(a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n+1} - \ln(1+\frac{1}{n}) < 0\)，数列单调递减。再证有下界：\(a_n > \sum_{k=1}^n \ln(1+\frac{1}{k}) - \ln n = \ln(n+1) - \ln n > 0\)，有下界。但学生最后写“\(a_n > \ln(1+\frac{1}{n}) > \frac{1}{n+1}\)”有误，应为 \(a_n > \ln(1+\frac{1}{n})\) 不成立（实际是 \(a_n > \ln(n+1) - \ln n = \ln(1+\frac{1}{n})\)），但根据上下文可判断为笔误，核心下界证明正确。逻辑整体正确，扣1分。得4分。

题目总分：5+4=9分