评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生作答中，利用变换 \(x = e^t\) 正确推导了导数关系，将原方程化简为常系数线性微分方程 \(y''(t) - 9y(t) = 0\)，并正确求解得到通解 \(y(x) = C_1 x^3 + C_2 x^{-3}\)。代入初始条件 \(y(1) = 2, y'(1) = 6\) 后，正确解得 \(C_1 = 2, C_2 = 0\)，最终得到 \(y(x) = 2x^3\)。整个过程逻辑清晰，计算无误。但在二阶导数推导过程中，学生写出的表达式 \(\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d^2y}{dt^2} \cdot \frac{1}{e^t} - \frac{dy}{dt} \cdot \frac{1}{e^{2t}}}{e^t}\) 虽然最终化简正确，但中间步骤表述不够规范（标准答案中直接写出 \(\frac{1}{x^2}(\frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt})\)），不过由于最终代入方程后化简正确，且不影响结果，此处不扣分。因此，第(1)部分得分为6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确代入 \(y(x) = 2x^3\) 得到积分 \(\int_1^2 2x^3 \sqrt{4 - x^2} \, dx\)，并采用三角代换 \(x = 2\sin t\) 处理积分。代换过程正确，积分上下限转换准确（\(x=1 \to t=\pi/6, x=2 \to t=\pi/2\)）。积分化为 \(64 \int_{\pi/6}^{\pi/2} \sin^3 t \cos^2 t \, dt\) 后，通过代换 \(u = \cos t\) 正确计算，最终结果 \(\frac{22}{5}\sqrt{3}\) 与标准答案一致。但在积分表达式转换中，学生写出的被积函数为 \(64\sin^3 t \cos^2 t\)，而标准答案为 \(32\sin^3 t \cdot 2\cos t \cdot 2\cos t\) 形式，实质相同，计算过程无误。因此，第(2)部分得分为6分。

题目总分：6+6=12分