评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生正确计算了所有一阶和二阶偏导数，并代入方程得到 \( -25f_{12}'' = 1 \)，从而解得 \( f_{12}'' = \frac{1}{25} \)。虽然中间步骤中符号写为负号（-25），但最终结果正确，且与标准答案一致。识别结果中两次均正确，故不扣分。得6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确利用 \( \frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v} = \frac{1}{25} \) 积分得到 \( \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{1}{25}v + C_1(u) \)，并通过条件 \( \frac{\partial f(u,0)}{\partial u} = ue^{-u} \) 确定 \( C_1(u) = ue^{-u} \)。再次积分得到 \( f(u,v) = \frac{uv}{25} + e^{-u}(-u+1) + C_2(v) \)，最后利用 \( f(0,v) = \frac{1}{50}v^2 - 1 \) 确定 \( C_2(v) = \frac{1}{50}v^2 \)。最终表达式与标准答案等价（\( e^{-u}(-u+1) = -e^{-u}(u-1) \)，而标准答案为 \( -e^{-u}(u+1) \)，但学生计算错误：积分 \( \int ue^{-u} du = -e^{-u}(u+1) + C \)，学生得到 \( e^{-u}(-u+1) \) 是错误的，应为 \( -e^{-u}(u+1) \)。因此，最终表达式有误，扣2分。得4分。

题目总分：6+4=10分