评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生作答为“-1”。

根据题目条件 \(a_{ij} + A_{ij} = 0\)，即 \(A_{ij} = -a_{ij}\)。这表示矩阵A的每个元素的代数余子式等于该元素的相反数。由代数余子式的性质可知，矩阵A的伴随矩阵 \(A^*\) 满足 \((A^*)_{ij} = A_{ji}\)。因此，条件 \(A_{ij} = -a_{ij}\) 可以写为 \(A^* = -A^T\)。

对于n阶矩阵，有公式 \(A A^* = A^* A = |A| I\)。将 \(A^* = -A^T\) 代入，得到 \(A (-A^T) = -A A^T = |A| I\)。

两边取行列式：\(|-A A^T| = ||A| I|\)。

左边：\(|-A A^T| = (-1)^3 |A A^T| = -|A| |A^T| = -|A|^2\) （因为 \(|A^T| = |A|\)）。

右边：\(||A| I| = |A|^3 |I| = |A|^3\)。

因此有等式：\(-|A|^2 = |A|^3\)，即 \(|A|^3 + |A|^2 = 0\)，\(|A|^2 (|A| + 1) = 0\)。

由于A是非零矩阵，\(|A|\) 可能为0，但若 \(|A| = 0\)，则伴随矩阵 \(A^* = 0\)，由 \(A^* = -A^T\) 可得 \(A^T = 0\)，即 \(A = 0\)，与题目中“非零矩阵”矛盾。因此 \(|A| \neq 0\)，故 \(|A|^2 \neq 0\)，所以必有 \(|A| + 1 = 0\)，即 \(|A| = -1\)。

学生的答案“-1”与标准答案一致，解答正确。

得分：4分。

题目总分：4分