评分及理由

（I）得分及理由（满分5分）

学生作答中，第1次识别结果和第2次识别结果在证明 $S''(x)-S(x)=0$ 的核心思路上与标准答案一致。均正确写出了 $S(x)$、$S'(x)$、$S''(x)$ 的幂级数表达式，并通过逐项求导和已知递推关系 $a_{n-2}-n(n-1)a_n=0$ 推导出 $S''(x)-S(x)=0$。逻辑清晰，步骤完整。因此，本部分应得满分。

得分：5分

（II）得分及理由（满分5分）

学生作答在求解微分方程 $S''(x)-S(x)=0$ 时，正确写出了特征方程 $\lambda^2-1=0$ 并得到通解 $S(x)=C_1 e^{x}+C_2 e^{-x}$。这是正确的思路。

然而，在确定常数 $C_1$ 和 $C_2$ 时，学生出现了严重的逻辑错误。学生错误地写入了 $S(0)=0$ 作为初始条件（第1次识别结果中“$y(0)=0$”和“$S(0)=0$”，第2次识别结果中“已知 $S(0) = 0$”），但题目给出的初始条件是 $S(0)=a_0=3$ 和 $S'(0)=a_1=1$。这个错误直接导致后续利用 $S(0)=0$ 得出 $C_2=-C_1$ 的错误结论，并且未能正确利用 $S'(0)=1$。虽然学生后来也写到了 $S(0)=a_0=3$，但并未用其来修正之前的错误，反而引入了更多无关或错误的信息（如计算 $a_2, a_3, a_4$，讨论 $S(1)$ 等），使得解答过程混乱且最终没有得到正确的表达式 $S(x)=e^{-x}+2e^{x}$。

由于未能正确使用初始条件求出常数，本部分解答不完整且结论错误。根据逻辑错误扣分原则，需扣分。

得分：2分（考虑到求解通解部分正确，给予部分分数）

题目总分：5+2=7分