评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

第(I)问：学生正确指出f(x)是奇函数，故f(0)=0。然后应用拉格朗日中值定理于区间[0,1]，得到存在ξ∈(0,1)使得f'(ξ)=[f(1)-f(0)]/(1-0)=1。此证明思路清晰正确，与标准答案（使用罗尔定理）虽方法不同但结论正确。因此，第(I)问得满分5分。

（2）得分及理由（满分5分）

第(II)问：学生的证明存在严重逻辑错误。首先，由f(x)是奇函数且二阶可导，并不能直接推出f''(0)=0（虽然结论正确，但推理不严谨）。其次，学生定义g(x)=f'(x)+f(x)，然后计算g(1)和g(-1)，并试图对g(x)在区间[-1,1]上应用中值定理。然而，g(x)在x=-1和x=1处的函数值依赖于未知的f'(1)，学生错误地认为g(1)-g(-1)=2，这是不成立的，因为f'(-1)作为偶函数在-1的值应等于f'(1)，所以g(-1)=f'(-1)+f(-1)=f'(1)-1，g(1)-g(-1)=[f'(1)+1]-[f'(1)-1]=2，这个计算本身正确。但是，要应用中值定理，需要g(x)在[-1,1]上连续，在(-1,1)内可导。学生没有验证g(x)在端点x=-1和x=1处的连续性或可导性（实际上，题目只给出f(x)在[-1,1]上具有二阶导数，意味着f'(x)在[-1,1]上连续，故g(x)在[-1,1]上连续；且f''(x)在(-1,1)存在，故g'(x)在(-1,1)存在。因此中值定理条件满足）。然而，最关键的错误在于，中值定理得到的是存在η∈(-1,1)使得g'(η)=[g(1)-g(-1)]/2=1，这确实给出了f''(η)+f'(η)=1。但学生的证明依赖于f'(1)的值，而f'(1)的值题目并未给出，学生假设g(1)-g(-1)=2是成立的，但实际上这个计算是正确的，因为f'(-1)=f'(1)（由奇函数性质，f'(x)是偶函数）。因此，学生的证明在计算g(1)-g(-1)时是正确的，且中值定理应用条件实际上满足（虽未明确说明），但证明过程不严谨，且没有利用第(I)问的结论（标准答案利用了f'(ξ)=1和对称性）。考虑到证明的核心步骤（定义g(x)并应用中值定理）思路正确，但推理不够严密，且与标准答案方法不同，扣1分。因此，第(II)问得4分。

题目总分：5+4=9分