评分及理由

（1）归纳得出 \(f_n(x)\) 的表达式（满分 2 分）

学生正确写出 \(f_1(x)\) 和 \(f_2(x)\)，并通过归纳法得出 \(f_n(x) = \frac{x}{1+nx}\)，与标准答案一致。得 2 分。

（2）计算 \(S_n\) 的积分表达式（满分 6 分）

学生正确写出 \(S_n = \int_0^1 f_n(x) dx = \int_0^1 \frac{x}{1+nx} dx\)，并通过变形 \(\frac{x}{1+nx} = \frac{1}{n} \left(1 - \frac{1}{1+nx}\right)\) 进行积分计算。积分过程正确，得到 \(S_n = \frac{n - \ln(1+n)}{n^2}\)，与标准答案等价（标准答案为 \(\frac{1}{n} \left(1 - \frac{\ln(1+n)}{n}\right)\)，两者相同）。得 6 分。

（3）计算极限 \(\lim_{n \to \infty} n S_n\)（满分 3 分）

学生正确写出 \(n S_n = \frac{n - \ln(1+n)}{n}\)，并计算极限。虽然使用了洛必达法则，但结果正确（极限为 1）。标准答案直接化简得出极限，方法不同但正确，不扣分。得 3 分。

题目总分：2+6+3=11分