评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生作答：

• 面积表达式正确：\(S = \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x\sqrt{1+x^2}} dx\)，得2分。
• 三角代换思路正确：令 \(x = \tan t\)，得2分。
• 计算过程有误：代换后积分应为 \(\int_{\pi/4}^{\pi/2} \frac{\cos t}{\sin t} dt = \int_{\pi/4}^{\pi/2} \cot t dt\)，但学生计算为 \(\ln|\sin x|\) 从 \(\pi/4\) 到 \(\pi/2\)，结果得到 \(\frac{\ln 2}{2}\)，而正确结果应为 \(\ln(1+\sqrt{2})\)。此处计算错误，扣2分。
• 最终答案错误，扣2分。

本小题得分：6 - 2（计算错误） - 2（答案错误） = 2分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生作答：

• 旋转体体积公式使用错误：正确应为圆盘法 \(V = \pi \int_{1}^{+\infty} y^2 dx\)，但学生使用了柱壳法公式 \(V = 2\pi \iint_D y d\sigma\)，此公式适用于绕y轴旋转，此处绕x轴旋转使用错误，属于逻辑错误，扣3分。
• 后续计算基于错误公式：虽然积分计算过程正确，得到 \(\pi - \frac{\pi^2}{4}\)，但由于公式使用错误，结果无效，扣3分。
• 正确思路应使用圆盘法，学生未采用正确方法。

本小题得分：6 - 3（公式错误） - 3（结果无效） = 0分。

题目总分：2+0=2分