评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答的整体思路正确：正确将积分区域用极坐标表示，并进行了坐标变换。在计算关于r的积分时得到(ln2)/2，与标准答案一致。但在计算关于θ的积分时，从∫(0到π/3)1/(3cos²θ+sin²θ)dθ到∫(0到π/3)1/(1+2cos²θ)dθ的变形正确，但后续处理出现错误。

主要错误：在计算∫(0到π/3)1/(2+cos2θ)dθ时，虽然进行了u=2θ的换元，但在使用万能公式代换时，积分计算出现错误。标准答案的正确结果是(√3ln2π)/24，而学生得到的是(√3ln2π)/72，相差3倍。

具体错误分析：学生在使用万能公式t=tan(u/2)后，计算∫(0到√3)1/(3+t²)dt时，最后的积分结果应该是(1/√3)arctan(t/√3)，但学生错误地写成了(1/3)∫(0到√3)1/(1+(t/√3)²)dt，这里多除了一个3。

扣分：由于存在关键的计算错误导致最终结果不正确，扣除4分。

得分：12-4=8分

题目总分：8分