评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生最终给出的答案为“1”，与标准答案“1”完全一致。

题目要求求解满足微分方程 \(y^{\prime \prime}+2 y'+y=0\) 及初始条件 \(y(0)=0\), \(y'(0)=1\) 的函数 \(y(x)\) 在区间 \([0, +\infty)\) 上的积分。首先，求解该常系数齐次线性微分方程，其特征方程为 \(r^2 + 2r + 1 = 0\)，解得重根 \(r = -1\)，因此通解为 \(y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{-x}\)。代入初始条件 \(y(0)=0\) 得 \(C_1 = 0\)；代入 \(y'(0)=1\) 得 \(C_2 = 1\)。故特解为 \(y(x) = x e^{-x}\)。计算积分 \(\int_{0}^{+\infty} x e^{-x} dx\)，该积分值为1（可通过分部积分法或伽马函数求得）。学生答案“1”正确。

虽然第一次识别未能提取有效信息，但根据“对同一作答进行两次识别，只要其中有一次回答正确则不扣分”的原则，以第二次识别结果“1”为准进行评判。

因此，本题得分为4分。

题目总分：4分