评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生作答中，第一问通过合同变换下矩阵行列式相等（|A|=|B|）来建立方程，得到 a = -1/2 或 a = 1（第二次识别结果）或 a = 6（第一次识别结果）。然后通过秩检验排除 a=1（因为当 a=1 时，A 的秩为 1，而 B 的秩为 2，不相等，故舍去），最终得到 a = -1/2。

标准答案中，第一问是通过合同变换下矩阵的正负惯性指数相同（即特征值符号分布相同）来求解的。计算 B 的特征值为 0, 2, 4，然后计算 A 的特征值，令 1+2a = 0（对应 B 的 0 特征值）得到 a = -1/2。

学生的思路（利用行列式和秩）与标准答案（利用惯性指数）不同，但也是正确的。合同变换下，矩阵的秩确实相等，且如果矩阵是实对称矩阵（本题中 A 和 B 都是实对称矩阵），合同变换也保持矩阵的行列式符号相同（但行列式值本身不一定相等，除非是正交变换）。然而，学生错误地认为合同变换下 |A| = |B|，这是不正确的（因为 P^T A P = B，则 |B| = |P|^2 |A|，一般 |P| ≠ ±1）。因此，学生建立方程的依据是错误的。

尽管出发点错误，但学生通过额外的秩检验排除了错误解，最终得到了正确答案 a = -1/2。由于思路正确（利用秩）且最终答案正确，但核心逻辑（行列式相等）错误，因此酌情扣分。

扣分项：逻辑错误（错误使用合同变换下行列式相等）扣 2 分。

得分：5 - 2 = 3 分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生作答中，第二问没有给出任何内容（被涂抹未显示完整），因此无法判断其解答。

扣分项：未作答，扣 5 分。

得分：0 分。

题目总分：3+0=3分