评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案为 \(\frac{e^{3}}{x}\)，而标准答案为 \(y = x e\)。将学生答案代入原微分方程验证：

原方程：\(x y' + y(\ln x - \ln y) = 0\)

学生答案：\(y = \frac{e^3}{x}\)，求导得 \(y' = -\frac{e^3}{x^2}\)

代入：\(x \cdot (-\frac{e^3}{x^2}) + \frac{e^3}{x}(\ln x - \ln \frac{e^3}{x}) = -\frac{e^3}{x} + \frac{e^3}{x}(\ln x - (3 - \ln x)) = -\frac{e^3}{x} + \frac{e^3}{x}(2\ln x - 3) \neq 0\)

不满足微分方程。同时验证初始条件 \(y(1) = \frac{e^3}{1} = e^3 \neq e\)，与给定条件不符。

因此答案为错误，得0分。

题目总分：0分