评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答整体思路正确，与标准答案一致：通过隐函数求导得到一阶导数表达式，令导数为零找到可能极值点，代入原方程确定具体点，再通过二阶导数判断极值类型。具体分析如下：

• 隐函数求导步骤正确，得到方程①：\(3y^2 y' + y^2 + 2xy y' + 2xy + x^2 y' = 0\)，与标准答案等价（标准答案整理为\(\frac{dy}{dx} = -\frac{2xy + y^2}{x^2 + 2xy + 3y^2}\)，但学生直接使用求导后方程，逻辑正确）。
• 令\(y' = 0\)时，从方程①正确推导出\(2xy + y^2 = 0\)，并解得\(y = -2x\)（学生因式分解为\(y(2x + y) = 0\)，但仅取\(y = -2x\)，忽略\(y=0\)，但代入原方程后\(y=0\)不满足，因此实际处理正确）。
• 代入原方程时，第一次识别中写为“\(-8x^{3} + 4y^{3} - 2x^{3} + 6 = 0\)”，其中“\(4y^{3}\)”应为“\(4x^{3}\)”（识别错误），但第二次识别正确计算为\(-8x^3 + 4x^3 - 2x^3 + 6 = -6x^3 + 6 = 0\)，解得\(x=1, y=-2\)，结果正确。
• 二阶导数计算中，学生直接对求导后的方程①再次求导，得到表达式：\(6y \cdot y' + 3y^2 \cdot y'' + 2y \cdot y' + 2(y + xy \cdot y') + 2xy' + x^2 y'' = 0\)。此表达式与标准答案形式不同，但代入点\((1, -2)\)和\(y'=0\)后，简化得\(9y'' = 4\)，即\(y'' = \frac{4}{9} > 0\)，结果正确。标准答案使用商法则求二阶导，但学生方法等价且计算无误。
• 最终结论正确：极小值为\(-2\)。

扣分点：无逻辑错误，计算过程虽有识别误差（如第一次识别中“\(4y^{3}\)”），但根据上下文判断为误写，且第二次识别正确，故不扣分。思路和结果均正确。

得分：10分

题目总分：10分