评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为 \(\frac{\pi}{12}\)，与标准答案完全一致。该题考察利用极坐标下面积公式计算曲线围成的区域面积，正确公式为 \(\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r^2 d\theta\)。对于曲线 \(r=\sin 3\theta\) 在区间 \([0, \frac{\pi}{3}]\) 上，计算过程应为： \[ \text{面积} = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin^2 3\theta \, d\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1 - \cos 6\theta}{2} \, d\theta = \frac{1}{4} \left[ \theta - \frac{\sin 6\theta}{6} \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{12}. \] 学生答案正确，且无逻辑错误，因此得满分5分。

题目总分：5分