评分及理由

（1）微分方程求解部分（满分6分）

学生正确将原方程化为标准形式 \(y' - \frac{2}{x}y = \frac{2\ln x - 1}{x}\)，但标准答案中为 \(y' - \frac{2}{x}y = \frac{2\ln x - 1}{2x}\)，此处系数有误。不过后续计算中，学生通过积分因子法得到通解 \(y = Cx^2 - \frac{\ln x}{2}\)，与标准答案一致，且正确代入初值条件得到 \(C = \frac{1}{4}\)。由于系数错误未影响最终结果，且可能是识别误差，根据误写不扣分原则，此部分不扣分。得6分。

（2）弧长计算部分（满分6分）

学生正确写出弧长公式 \(S = \int_1^e \sqrt{1 + [y'(x)]^2} dx\)，正确计算导数 \(y' = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2x}\)，并在化简被积函数时正确得到 \(\sqrt{\left(\frac{1}{2}x + \frac{1}{2x}\right)^2}\)，但最终积分结果 \(\frac{1}{4}e^2 + \frac{1}{4}\) 与标准答案 \(\frac{e^2 + 1}{4}\) 等价。计算过程完整正确。得6分。

题目总分：6+6=12分