评分及理由

（1）得分及理由（满分0分）

第1次识别中，学生给出的矩阵A不完整（缺失元素），但在第2次识别中给出了正确的矩阵A = [3,0,1; 0,4,0; 1,0,3]。特征值计算正确（2,4,4），特征向量基本正确但存在符号问题：

• λ=2的特征向量应为(1,0,-1)ᵀ或(-1,0,1)ᵀ，学生两个识别结果都出现了
• λ=4的特征向量中，(-1,0,1)ᵀ与(1,0,-1)ᵀ线性相关，不能作为两个独立特征向量
• 正交化过程有误，未能得到正确的正交矩阵
• 最终标准形正确但顺序与特征向量对应关系有问题

考虑到核心思路正确，特征值计算正确，标准形结果正确，但正交变换矩阵构造有缺陷，给予部分分数。

得分：6分（满分10分）

（2）得分及理由（满分0分）

第(II)问证明思路正确：

• 正确利用了正交变换下xᵀx = yᵀy的性质
• 正确写出了比值表达式
• 给出了正确的不等式关系
• 得出了正确的最小值结论

证明过程完整且正确，虽然基于第(1)问的有瑕疵结果，但推理逻辑正确。

得分：10分（满分10分）

题目总分：6+10=16分