评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是：\(\frac{16}{9}\pi\ln 2 + \frac{16}{27}\pi\)。

根据旋转体体积公式，函数 \(f(x) = x\ln x\) 绕 x 轴旋转（\(0 < x \leq 2\)）的体积应为： \[ V = \pi \int_{0}^{2} [f(x)]^2 \, dx = \pi \int_{0}^{2} (x \ln x)^2 \, dx \] 即 \[ V = \pi \int_{0}^{2} x^2 (\ln x)^2 \, dx \] 该积分需要分部积分法，令 \(u = (\ln x)^2\)，\(dv = x^2 dx\)，或直接套用公式： \[ \int x^m (\ln x)^n dx = \frac{x^{m+1}}{m+1}(\ln x)^n - \frac{n}{m+1} \int x^m (\ln x)^{n-1} dx \] 这里 \(m=2, n=2\)。

计算过程： \[ \int x^2 (\ln x)^2 dx = \frac{x^3}{3} (\ln x)^2 - \frac{2}{3} \int x^2 \ln x \, dx \] \[ \int x^2 \ln x \, dx = \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{1}{3} \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{x^3}{9} + C \] 代入： \[ \int x^2 (\ln x)^2 dx = \frac{x^3}{3} (\ln x)^2 - \frac{2}{3} \left[ \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{x^3}{9} \right] + C \] \[ = \frac{x^3}{3} (\ln x)^2 - \frac{2x^3}{9} \ln x + \frac{2x^3}{27} + C \] 因此： \[ V = \pi \left[ \frac{x^3}{3} (\ln x)^2 - \frac{2x^3}{9} \ln x + \frac{2x^3}{27} \right]_{0}^{2} \] 注意在 \(x \to 0^+\) 时，\(x^3 (\ln x)^2 \to 0\)，\(x^3 \ln x \to 0\)，所以下限为 0。

代入 \(x=2\)： \[ V = \pi \left[ \frac{8}{3} (\ln 2)^2 - \frac{16}{9} \ln 2 + \frac{16}{27} \right] \] 标准答案为： \[ \pi\left[\frac{8}{3}(\ln 2)^{2} - \frac{16\ln 2}{9} + \frac{16}{27}\right] \] 学生答案缺少 \((\ln 2)^2\) 项，只有一次 \(\ln 2\) 项和常数项，且系数也不对。

这表明学生可能积分公式记错或计算过程...