评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确构造了函数 \(F(x) = x - \ln(1+x)\)，并求导得到 \(F'(x) = \frac{x}{1+x} > 0\)（当 \(0 < x \leq 1\) 时），说明 \(F(x)\) 在 \([0,1]\) 上递增。由 \(F(0) = 0\) 得出 \(x > \ln(1+x) > 0\)，从而 \(x^n > [\ln(1+x)]^n\)。结合 \(|\ln t| \geq 0\)，得到积分不等式。逻辑完整，与标准答案一致。但学生将变量记为 \(x\) 而非 \(t\)，这是符号选择问题，不影响逻辑，不扣分。得5分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生正确计算了 \(\int_0^1 t^n |\ln t| dt\)：先转化为 \(-\int_0^1 t^n \ln t dt\)，使用分部积分法，并处理了极限 \(\lim_{t \to 0^+} \frac{t^{n+1}}{n+1} \ln t = 0\)（通过洛必达法则或直接极限知识），最终得到结果为 \(\frac{1}{(n+1)^2}\)。计算过程正确，与标准答案方法一一致。在极限部分，学生额外使用了洛必达法则，这是允许的且正确，不扣分。得5分。

（3）得分及理由（本问题无独立分数，但涉及极限部分）

学生基于（1）中的不等式 \(0 \leq u_n \leq \int_0^1 t^n |\ln t| dt\)，结合（2）中计算结果 \(\int_0^1 t^n |\ln t| dt = \frac{1}{(n+1)^2}\)，应用夹逼准则得出 \(\lim_{n \to \infty} u_n = 0\)。逻辑正确，与标准答案一致。无扣分点。

题目总分：5+5=10分