评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案是“-x的平方/1-x的平方”，即 \( -\frac{x^2}{1-x^2} \)。

标准答案为 \( \frac{1}{(x+1)^2} \)。

首先，我们验证标准答案的正确性：原幂级数为 \(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n x^{n-1}\)。考虑已知的幂级数展开 \(\frac{1}{(1+x)^2} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} n x^{n-1}\)，该展开式在 \(|x| < 1\) 时成立，因此标准答案正确。

学生答案 \( -\frac{x^2}{1-x^2} \) 可以化简为 \( -\frac{x^2}{(1-x)(1+x)} \)，这与 \( \frac{1}{(1+x)^2} \) 在形式上完全不同。通过数值检验（例如取 \(x=0\)），原级数在 \(x=0\) 时为 \(1\)，标准答案为 \(1\)，而学生答案为 \(0\)，显然不一致。因此学生的答案错误。

由于学生答案与标准答案不符，且通过简单验证即可发现错误，因此本题得分为0分。

题目总分：0分