评分及理由

（1）得分及理由（满分9分）

学生作答分为两次识别，核心内容一致。分析如下：

• 第一步计算一阶偏导数 \(\frac{\partial z}{\partial x}\) 正确，得出了 \(f_1' \cdot y + f_2' \cdot y g'(x)\)，这与标准答案一致。
• 学生正确利用了 \(g(x)\) 在 \(x=1\) 处取极值这一条件，得出 \(g'(1)=0\)。
• 在计算二阶混合偏导数 \(\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}\) 时，学生的过程存在逻辑错误。标准答案显示，对一阶偏导 \(\frac{\partial z}{\partial x}\) 再对 \(y\) 求偏导时，应使用乘积法则，结果应包含6项。而学生的结果只有两项 \(f_{11}''\cdot xy + f_{12}''\cdot g(x)\)，遗漏了其他项（例如，对 \(f_1' \cdot y\) 中的 \(f_1'\) 求导时，还应考虑其对第二个变量的偏导乘以对应内函数对 \(y\) 的偏导；同时，对 \(f_2' \cdot y g'(x)\) 这一项，在 \(g'(x)\) 不为零的一般情况下，求导也会产生更多项，尽管在 \(x=1\) 时 \(g'(1)=0\) 会使其中一些项为零，但推导过程必须完整）。
• 然而，学生最终代入 \(x=1, y=1, g(1)=1, g'(1)=0\) 后，得到的结果是 \(f_{11}'' + f_{12}''\)，这与标准答案的最终结果一致。这是因为在 \(x=1\) 时，由于 \(g'(1)=0\)，标准答案中多项式的后四项恰好为零，只剩下前两项。

扣分分析：

• 主要扣分点在于二阶偏导的推导过程不完整，存在逻辑错误。虽然最终答案正确，但过程不严谨，未能展示完整的求导步骤。根据打分要求“逻辑错误扣分”，此为主要逻辑错误。
• 考虑到题目满分9分，过程推导占主要部分。学生推导过程缺失严重，但最终结果正确，且关键条件 \(g'(1)=0\) 使用正确。
• 综合评判，给予该题 5分。扣除了4分，主要原因是推导过程的逻辑不完整性。

题目总分：5分