评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案是 y=4x，而标准答案是 y=2x。我们需要计算曲线在 t=1 处的切线斜率。

首先计算 x 和 y 在 t=1 时的值：

• x(1) = ∫₀¹⁻¹ e^{-u²} du = ∫₀⁰ e^{-u²} du = 0
• y(1) = 1²·ln(2-1²) = ln1 = 0

所以曲线经过点 (0,0)。

切线斜率 dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)：

• dx/dt = d/dt[∫₀¹⁻ᵗ e^{-u²} du] = -e^{-(1-t)²}·(-1) = e^{-(1-t)²}
• dy/dt = 2t·ln(2-t²) + t²·[1/(2-t²)]·(-2t) = 2t·ln(2-t²) - 2t³/(2-t²)

在 t=1 时：

• dx/dt|ₜ₌₁ = e^{-(1-1)²} = e⁰ = 1
• dy/dt|ₜ₌₁ = 2·1·ln(2-1) - 2·1³/(2-1) = 2·ln1 - 2/1 = 0 - 2 = -2

因此斜率 k = (dy/dt)/(dx/dt) = -2/1 = -2

但标准答案给的是 y=2x，斜率为 2，这说明我计算有误。让我重新检查：

实际上，dx/dt = d/dt[∫₀¹⁻ᵗ e^{-u²} du] = e^{-(1-t)²}·(-1) = -e^{-(1-t)²}

在 t=1 时：dx/dt|ₜ₌₁ = -e⁰ = -1

dy/dt|ₜ₌₁ = -2（前面计算正确）

所以斜率 k = (dy/dt)/(dx/dt) = (-2)/(-1) = 2

切线方程为 y-0 = 2(x-0)，即 y=2x。

学生回答 y=4x，斜率计算错误，因此不能得分。

得分：0分

题目总分：0分