评分及理由

（1）换元步骤得分及理由（满分2分）

学生采用了换元法，令 \( t = 1 + \sqrt{\frac{1+x}{x}} \)，这与标准答案的换元形式不同但等价。思路正确，不扣分。得2分。

（2）分部积分步骤得分及理由（满分3分）

学生正确应用了分部积分法，得到 \(\int \ln t d\frac{1}{t(t-2)} = \frac{\ln t}{t(t-2)} - \int \frac{1}{t^2(t-2)} dt\)。这一步逻辑正确，得3分。

（3）部分分式分解步骤得分及理由（满分3分）

学生对 \(\frac{1}{t^2(t-2)}\) 进行了部分分式分解，但分解结果有误。标准分解应为 \(\frac{1}{t^2(t-2)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t^2} + \frac{C}{t-2}\)，解得 \(A = -\frac{1}{4}, B = -\frac{1}{2}, C = \frac{1}{4}\)。学生给出的分解 \(-\frac{1}{2t^2} - \frac{1}{2t} + \frac{1}{2(t-2)}\) 系数错误，导致后续积分结果错误。扣2分，得1分。

（4）回代步骤得分及理由（满分2分）

学生尝试将结果回代为 \(x\) 的函数，但由于前一步部分分式分解错误，回代结果也错误。且回代后的表达式复杂且未化简到最简形式。扣1分，得1分。

题目总分：2+3+1+1=7分