评分及理由

（1）当 \(-\pi < x < 0\) 时的求解（满分4分）

学生第一次识别中错误地认为切线过原点并得出 \(y' = -1\) 和 \(y = x\)，这是逻辑错误，但第二次识别中正确使用了法线方程 \(Y = -\frac{1}{y'}X\)（与标准答案等价），并最终得出 \(x^2 + y^2 = \pi^2\)，且正确代入点 \(\left(-\frac{\pi}{\sqrt{2}}, \frac{\pi}{\sqrt{2}}\right)\) 确定常数。由于第二次识别正确，且第一次错误可能为识别问题，根据规则不扣分。得4分。

（2）当 \(0 \leq x < \pi\) 时的求解（满分4分）

学生正确求解微分方程 \(y'' + y + x = 0\)，得到齐次通解 \(C_1 \cos x + C_2 \sin x\) 和特解 \(-x\)，与标准答案一致。得4分。

（3）利用光滑性确定常数（满分4分）

学生正确利用函数在 \(x=0\) 处连续得到 \(y(0) = C_1 = \pi\)（注意标准答案有 \(\pm \pi\)，但根据过点条件最终取正），并利用导数连续得到 \(C_2 = 1\)，与标准答案一致。得4分。

题目总分：4+4+4=12分