评分及理由
(1)得分及理由(满分5分)
学生给出的答案是"1/8",与标准答案\(\frac{1}{8}\)完全一致。
本题考察的是傅里叶级数的和函数性质。函数\(f(x)\)在区间\([0,1]\)上定义,其傅里叶正弦级数为\(\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin n\pi x\)。和函数\(S(x)\)是周期为2的奇函数,因为正弦级数对应的是奇延拓。
要求\(S\left(-\frac{7}{2}\right)\),可以利用周期性:\(S(x+2) = S(x)\),以及奇函数性质:\(S(-x) = -S(x)\)。
计算过程:
- \(S\left(-\frac{7}{2}\right) = S\left(-\frac{7}{2} + 4\right) = S\left(\frac{1}{2}\right)\)(利用周期性)
- 由于是奇延拓,\(S\left(\frac{1}{2}\right)\)在区间\([0,1]\)内等于原函数在\(\frac{1}{2}\)处的值
- 根据函数定义,当\(x = \frac{1}{2}\)时,\(f(x) = x^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\)
- 但在间断点\(x = \frac{1}{2}\)处,傅里叶级数收敛于左右极限的平均值:\(\frac{f(\frac{1}{2}^-) + f(\frac{1}{2}^+)}{2} = \frac{0 + \frac{1}{4}}{2} = \frac{1}{8}\)
学生的答案正确,思路完整,计算准确,因此得满分5分。
题目总分:5分
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