评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是"1/8"，与标准答案\(\frac{1}{8}\)完全一致。

本题考察的是傅里叶级数的和函数性质。函数\(f(x)\)在区间\([0,1]\)上定义，其傅里叶正弦级数为\(\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin n\pi x\)。和函数\(S(x)\)是周期为2的奇函数，因为正弦级数对应的是奇延拓。

要求\(S\left(-\frac{7}{2}\right)\)，可以利用周期性：\(S(x+2) = S(x)\)，以及奇函数性质：\(S(-x) = -S(x)\)。

计算过程：

• \(S\left(-\frac{7}{2}\right) = S\left(-\frac{7}{2} + 4\right) = S\left(\frac{1}{2}\right)\)（利用周期性）
• 由于是奇延拓，\(S\left(\frac{1}{2}\right)\)在区间\([0,1]\)内等于原函数在\(\frac{1}{2}\)处的值
• 根据函数定义，当\(x = \frac{1}{2}\)时，\(f(x) = x^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\)
• 但在间断点\(x = \frac{1}{2}\)处，傅里叶级数收敛于左右极限的平均值：\(\frac{f(\frac{1}{2}^-) + f(\frac{1}{2}^+)}{2} = \frac{0 + \frac{1}{4}}{2} = \frac{1}{8}\)

学生的答案正确，思路完整，计算准确，因此得满分5分。

题目总分：5分