评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

该题考查方向导数的计算。方向导数的计算公式为： \[ \frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}} = \nabla u \cdot \frac{\boldsymbol{n}}{\|\boldsymbol{n}\|} \] 其中梯度 \(\nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right)\)。

计算梯度： \[ \frac{\partial u}{\partial x} = y^2 z^3, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 2xy z^3, \quad \frac{\partial u}{\partial z} = 3xy^2 z^2 \] 在点 \((1,1,1)\) 处： \[ \nabla u(1,1,1) = (1, 2, 3) \]

向量 \(\boldsymbol{n} = (2,2,-1)\) 的模为： \[ \|\boldsymbol{n}\| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9} = 3 \] 单位向量为： \[ \frac{\boldsymbol{n}}{\|\boldsymbol{n}\|} = \left( \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3} \right) \]

方向导数为： \[ \frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}}\bigg|_{(1,1,1)} = (1, 2, 3) \cdot \left( \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} - \frac{3}{3} = \frac{3}{3} = 1 \]

学生答案为 \(1\)，与标准答案一致。虽然学生没有展示计算过程，但最终答案正确。根据评分要求，答案正确应给满分。

题目总分：5分