评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答在两次识别中均正确推导出函数 \( f(u) \) 的表达式。具体分析如下：

• 正确计算了 \( g(x, y) \) 的一阶和二阶偏导数，并代入给定方程得到 \( u^2 f''(u) + u f'(u) = 1 \)。
• 正确进行变量代换并求解微分方程，得到 \( f'(u) = \frac{1}{u}(\ln u + 2) \)。
• 正确积分并利用初始条件 \( f(1) = 1 \) 和 \( f'(1) = 2 \) 确定常数，最终得到 \( f(u) = \frac{1}{2}(\ln u)^2 + 2\ln u + 1 \)。

尽管第一次识别中在 \( g_{xx}'' \) 的计算中出现符号错误（误写为 \( -\frac{1}{y^2}f'(\frac{x}{y}) \)），但后续代入方程时未使用此错误结果，而是正确推导出 \( \frac{x^2}{y^2}f''(\frac{x}{y}) + \frac{x}{y}f'(\frac{x}{y}) = 1 \)，且第二次识别完全正确。根据禁止扣分规则，误写不扣分。整体逻辑完整，计算准确，符合满分标准。

得分：10分

题目总分：10分