评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案为：e-2x+2ex。这个表达式需要解读为 \( e^{-2x} + 2e^{x} \)，这与标准答案 \( e^{-2x} + 2e^{x} \) 在数学上是完全一致的。

该微分方程 \( y'' + y' - 2y = 0 \) 的特征方程为 \( r^2 + r - 2 = 0 \)，解得特征根 \( r = 1 \) 和 \( r = -2 \)，因此通解为 \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-2x} \)。

利用初始条件：在 \( x=0 \) 处取得极值3。极值条件给出 \( y'(0) = 0 \)，且 \( y(0) = 3 \)。

计算导数：\( y' = C_1 e^{x} - 2C_2 e^{-2x} \)。代入 \( x=0 \)：

\( y(0) = C_1 + C_2 = 3 \)

\( y'(0) = C_1 - 2C_2 = 0 \)

解方程组得 \( C_1 = 2 \), \( C_2 = 1 \)，所以特解为 \( y = 2e^{x} + e^{-2x} \)，即 \( e^{-2x} + 2e^{x} \)。

学生答案与标准答案完全一致，因此得4分。

题目总分：4分