评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答分为两次识别，但内容基本一致。首先，学生正确设点 \(P(x_0, \frac{4}{9}x_0^2)\)，并正确建立了面积 \(S\) 的表达式：\(S = \frac{1}{2}(1 + \frac{4}{9}x_0^2)x_0 - \int_0^{x_0} \frac{4}{9}u^2 du\)。积分计算正确，得到 \(S = \frac{x_0}{2} + \frac{2}{27}x_0^3\)，与标准答案一致。接着，学生对 \(S\) 关于时间 \(t\) 求导，正确应用链式法则，得到 \(S' = \left(\frac{1}{2} + \frac{2}{9}x_0^2\right) x_0'\)（在第一次识别中写为 \(S = \frac{1}{2}x_0^x + \frac{2}{9}x_0^2 x_0'\)，但根据上下文和第二次识别，应为误写，实际推导正确）。代入 \(x_0 = 3\) 和 \(x_0' = 4\) 后，计算得 \(S' = 10\)，结果正确。尽管在第一次识别中有轻微符号误写（如 \(x_0^x\) 应为 \(x_0'\)），但整体逻辑和计算无误，且第二次识别清晰无误。根据打分要求，逻辑错误需扣分，但误写不扣分，因此不扣分。思路正确，计算准确，得满分10分。

题目总分：10分