评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生解答过程分为以下步骤：

• 正确求解齐次方程通解：特征方程 \(r^2+2r+1=0\) 得到重根 \(r=-1\)，通解 \(y_h=(C_1+C_2x)e^{-x}\) 正确。
• 正确设特解形式：由于非齐次项 \(e^{-x}\) 与齐次通解重合，特解设为 \(y^*=ax^2e^{-x}\) 正确。
• 正确计算特解系数：代入原方程得到 \(a=\frac{1}{2}\)，特解 \(y^*=\frac{1}{2}x^2e^{-x}\) 正确。
• 正确利用初始条件：代入 \(y(0)=1\) 得 \(C_1=1\)，代入 \(y'(0)=1\) 得 \(C_2=2\)，得到特解 \(y=(1+2x+\frac{1}{2}x^2)e^{-x}\) 正确。
• 极限计算正确：\(\lim_{x\to+\infty} x(1+2x+\frac{1}{2}x^2)e^{-x}=0\) 正确。

但在最后积分计算部分存在逻辑错误：

• 学生计算 \(\int_0^{+\infty} x\,dy = [xy]_0^{+\infty}\)，这是错误的公式。正确方法应为 \(\int_0^{+\infty} x\,dy = \int_0^{+\infty} x y'(x)\,dx\)。
• 学生直接代入极限得到积分值为0，但根据正确计算，\(y'(x) = (2 + x - 1 - 2x - \frac{1}{2}x^2)e^{-x} = (1 - x - \frac{1}{2}x^2)e^{-x}\)，积分 \(\int_0^{+\infty} x y'(x)\,dx\) 实际值为 \(-4\)。

由于核心积分计算步骤存在逻辑错误，导致最终答案错误。但前面微分方程求解部分完全正确，且极限计算正确，体现了大部分解题思路正确。根据评分规则，逻辑错误需扣分，但思路正确部分不扣分。考虑到积分计算是本题最终目标，错误较为严重，扣分幅度较大。

得分：2分（满分5分）

题目总分：2分