评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生两次识别结果均为 \(\sqrt{2}(e^{\pi}-1)\)，与标准答案完全一致。根据极坐标下弧长公式 \(L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2} d\theta\)，对 \(r = e^\theta\) 在 \([0, \pi]\) 上计算可得： \[ \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2} = \sqrt{e^{2\theta} + e^{2\theta}} = \sqrt{2}e^\theta \] 积分结果为： \[ L = \int_0^\pi \sqrt{2}e^\theta d\theta = \sqrt{2}(e^\pi - 1) \] 学生答案正确，得4分。

题目总分：4分