评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答中，第一次识别结果和第二次识别结果基本一致，都给出了完整的解题过程。首先正确计算了一阶导数 \(\frac{dy}{dx} = \frac{\psi'(t)}{2+2t}\)，然后正确计算了二阶导数 \(\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\psi''(t)(2+2t)-2\psi'(t)}{(2+2t)^3}\)，并代入已知条件得到方程 \(\psi''(t)(1+t)-\psi'(t) = 3\)。

但在求解微分方程时出现了逻辑错误：从方程 \(\psi''(t)(1+t)-\psi'(t) = 3\) 到 \(\frac{dp}{dt}(1+t) = 3+p\) 是正确的，但分离变量时写成了 \(\frac{dp}{3+p} = \frac{dt}{1+t}\)，而实际上应该是 \(\frac{dp}{dt} = \frac{3+p}{1+t}\)，即 \(\frac{dp}{3+p} = \frac{dt}{1+t}\) 这一步是正确的。

然而在积分后得到 \(\ln(3+p) = \ln(1+t) + \ln C_1\)，这相当于 \(3+p = C_1(1+t)\)，但标准答案中通过一阶线性微分方程求解得到的是 \(p = 3t(t+1)\)。学生此处得到的 \(p = \frac{3}{2} + \frac{9}{2}t\) 是不正确的，这导致后续积分结果错误。

由于核心的微分方程求解出现错误，但前面推导过程和利用初始条件的方法正确，给予部分分数。扣分点：微分方程求解错误（-3分），最终答案错误（-2分）。

得分：5分

题目总分：5分