评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

第一次识别结果：学生正确构造了辅助函数 \(F(x) = f(x) - \frac{1}{3}x^3\)，并正确应用了拉格朗日中值定理在两个区间上。但在最后一步计算 \(F'(\xi) + F'(\eta)\) 时，错误地得出等于 \(2(F(1)-F(0)) = 0\)，实际上应该是 \(\frac{1}{2}F'(\xi) + \frac{1}{2}F'(\eta) = F(1) - F(0) = 0\)，即 \(F'(\xi) + F'(\eta) = 0\)。然而，在代入 \(F'(x) = f'(x) - x^2\) 时，学生错误地写成了 \(f'(x) - 3x^2\)，导致最终结果错误。这是一个逻辑错误，扣3分。得分：7分。

第二次识别结果：学生正确构造了辅助函数，正确应用了拉格朗日中值定理，并正确得出 \(F'(\xi) + F'(\eta) = 0\)。在代入 \(F'(x) = f'(x) - x^2\) 时，正确得到 \(f'(\xi) - \xi^2 + f'(\eta) - \eta^2 = 0\)，从而正确推导出 \(f'(\xi) + f'(\eta) = \xi^2 + \eta^2\)。整个过程逻辑正确，与标准答案一致。得分：10分。

根据题目要求，只要有一次识别正确就不扣分，因此本题按第二次识别结果给分。

题目总分：10分