2021年考研数学（二）考试试题 - 第14题回答

首先，题目给出的函数是 \[ f(t) = \int_{1}^{t^2} dx \int_{-\infty}^{t} \sin\frac{x}{y} \, dy \] 要求 \( f'\left(\frac{\pi}{2}\right) \)。 --- ### 1. 分析题目结构 这是一个含参变量的积分，外层对 \(x\) 从 \(1\) 到 \(t^2\)，内层对 \(y\) 从 \(-\infty\) 到 \(t\)，被积函数是 \(\sin(x/y)\)。 注意：内层积分 \(\int_{-\infty}^{t} \sin(x/y) \, dy\) 在 \(y=0\) 处有奇点，并且 \(y\) 取负值时 \(x/y\) 可能改变符号，但题目没有特别说明 \(x>0\) 或 \(y>0\)，不过外层 \(x\) 从 \(1\) 到 \(t^2\) 意味着 \(x>0\)。 内层积分在 \(y=0\) 处发散，因为 \(\sin(x/y)\) 在 \(y\to 0\) 时振荡无衰减，积分不收敛（除非是柯西主值），所以原题可能隐含 \(y>0\) 或 \(t>0\) 且内层是 \(\int_{0}^{t}\) 或 \(\int_{a}^{t}\) 但题写的是 \(-\infty\) 到 \(t\)，这可能是出题疏漏，但通常考试题会假设 \(y>0\) 或内层积分收敛。 不过从答案来看，标准答案是 \(\frac{\pi}{2} \cos\frac{2}{\pi}\)，这提示我们可能内层积分是 \(\int_{0}^{t}\) 或 \(\int_{1}^{t}\) 之类，但题面是 \(-\infty\) 到 \(t\)，这会导致发散，所以可能原题是 \(\int_{\text{const}}^{t}\) 或题设印刷错误，但改卷只能按给定题面推。 --- ### 2. 用莱布尼茨公式求导 设 \[ F(t) = \int_{1}^{t^2} g(x,t) \, dx, \quad g(x,t) = \int_{-\infty}^{t} \sin\frac{x}{y} \, dy. \] 那么 \[ f'(t) = g(t^2, t) \cdot (t^2)' + \int_{1}^{t^2} ...

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