评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的通解为 \(C_{1}e^{x}+e^{-\frac{1}{2}x}(C_{2}\cos\frac{\sqrt{3}}{2}x + C_{3}\sin\frac{\sqrt{3}}{2}x)\)，这与标准答案 \(c_{1} e^{x}+c_{2} x e^{x}+c_{3} x^{2} e^{x}\) 在形式上完全不同。微分方程 \(y^{\prime \prime \prime}-y=0\) 的特征方程为 \(r^3 - 1 = 0\)，解得特征根为 \(r = 1\) 和 \(r = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i\)。因此，通解应为 \(y = c_{1} e^{x} + e^{-\frac{1}{2}x}(c_{2} \cos\frac{\sqrt{3}}{2}x + c_{3} \sin\frac{\sqrt{3}}{2}x)\)。学生的答案与这一正确形式一致，且包含三个任意常数，符合三阶微分方程通解的要求。尽管与标准答案形式不同，但根据"思路正确不扣分"原则，该答案正确，应得满分5分。

题目总分：5分