评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案是"1"，而标准答案是$\sqrt{2}$。

该极限的正确解法是：

$\lim\limits _{x \to 0}\left(\frac{1+2^{x}}{2}\right)^{\frac{1}{x}}$

可以改写为：$\lim\limits _{x \to 0}\left(1+\frac{2^{x}-1}{2}\right)^{\frac{1}{x}}$

利用重要极限$\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$，令$t=\frac{2^{x}-1}{2}$

当$x\to 0$时，$t\to 0$，且$\frac{1}{x}=\frac{2}{2^{x}-1}\cdot t$

原式=$\lim\limits_{t\to 0}(1+t)^{\frac{2}{2^{x}-1}\cdot t}$

=$e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{2^{x}-1}{x}\cdot \frac{1}{2}}$

=$e^{\frac{\ln 2}{2}}$

=$\sqrt{2}$

学生答案"1"是错误的，说明学生可能错误地认为当$x\to 0$时，$2^x\to 1$，导致认为整个表达式趋于$1^{\infty}$形式的极限为1，这是典型的错误理解。

因此，本题得分为0分。

题目总分：0分