评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答中，第一次识别结果和第二次识别结果基本一致，主要差异在于第二次识别更清晰地写出了二阶偏导数的符号。我们以第二次识别结果为准进行评分。

步骤分析：

• 第一步计算 \(\frac{\partial z}{\partial x}\) 正确，得出了 \(yf_1' + yg'(x)f_2'\)，与标准答案一致。
• 第二步利用 \(g'(1) = 0\) 的条件，代入 \(x=1\) 得到 \(\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{x=1} = y f_1'(y, y)\)，这一步正确。
• 第三步计算二阶混合偏导 \(\left.\frac{\partial^{2}z}{\partial x\partial y}\right|_{x=1,y=1}\) 时，对 \(y f_1'(y,y)\) 关于 \(y\) 求偏导，得到 \(f_1'(y,y) + y [f_{11}''(y,y) + f_{12}''(y,y)]\)，然后代入 \(y=1\) 得到 \(f_1'(1,1) + f_{11}''(1,1) + f_{12}''(1,1)\)。

关键错误：在最后结果中多出了一项 \(f_{12}''(1,1)\)。标准答案为 \(f_1'(1,1) + f_{11}''(1,1)\)。这是因为在计算 \(\frac{\partial}{\partial y}[f_1'(xy, yg(x))]\) 时，当 \(x=1\) 且 \(g(1)=1\)，第二变量为 \(y \cdot 1 = y\)，所以 \(f_1'\) 的两个变量都是 \(y\)，求偏导时链式法则应为 \(\frac{\partial f_1'}{\partial y} = f_{11}'' \cdot x + f_{12}'' \cdot g(x)\)，代入 \(x=1, g(1)=1\) 后为 \(f_{11}''(1,1) \cdot 1 + f_{12}''(1,1) \cdot 1\)，但这里学生似乎错误地认为第二变量是常数或错误应用了链式法则，实际上在 \(x=1\) 时，\(f_1'(y,y)\) 对 \(y\) 求导应为 \(f_{11}''(y,y) \cdot 1 + f_...