评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分5.5分）

学生答案中给出了两种不同的容积计算结果：第一次识别结果为 \( V = \frac{8}{9}\pi \)，第二次识别结果为 \( V = 2\pi + \frac{\sqrt{3}}{2} \)。标准答案为 \( V = \frac{9}{4}\pi \)。学生的两个结果均与标准答案不符，且计算过程中存在逻辑错误：

• 第一次识别中，\( V_1 \) 的定义和计算混乱，且最终结果错误。
• 第二次识别中，虽然正确写出了 \( V = 2\pi \int_{-1}^{\frac{1}{2}} (1 - y^2) \, dy \) 的表达式，但积分上下限应为 \( y \) 从 \( -1 \) 到 \( \frac{1}{2} \)，而标准答案中上半部分应从 \( \frac{1}{2} \) 到 1，下半部分从 -1 到 \( \frac{1}{2} \)，但学生最终计算结果 \( 2\pi + \frac{\sqrt{3}}{2} \) 错误，且中间步骤有误（如 \( V_2 \) 的计算）。

由于思路部分正确（使用了旋转体体积公式），但计算过程和结果均错误，扣 3 分。得分：2.5 分。

（Ⅱ）得分及理由（满分5.5分）

学生答案中功的计算公式正确：\( W = \int_{\frac{1}{2}}^{2} \rho \pi (2y - y^2) g (2 - y) \, dy + \int_{-1}^{\frac{1}{2}} \rho \pi (1 - y^2) g (2 - y) \, dy \)，且正确代入 \( \rho = 10^3 \)。但最终计算结果 \( \frac{27}{8} \times 10^3 g \pi \) 与标准答案 \( \frac{27}{4} \times 10^3 g \pi \) 不符，表明积分计算有误。由于思路正确但结果错误，扣 2 分。得分：3.5 分。

题目总分：2.5+3.5=6分