评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答分为两个识别结果，但内容实质相同。我们按步骤分析：

• 第一步：求解微分方程得到 \(x = \ln(1+t^2)\)。学生正确分离变量并积分，利用初始条件确定常数 \(C=1\)，得到正确结果。此步无误。
• 第二步：计算一阶导数 \(\frac{dy}{dx}\)。学生正确应用参数方程求导公式，得到 \(\frac{dy}{dx} = (1+t^2)\ln(1+t^2)\)，并进一步利用 \(x = \ln(1+t^2)\) 的关系，将其表示为 \(\frac{dy}{dx} = x e^x\)。此步无误。
• 第三步：计算二阶导数 \(\frac{d^2y}{dx^2}\)。学生直接对 \(\frac{dy}{dx} = x e^x\) 关于 \(x\) 求导，得到 \(\frac{d^2y}{dx^2} = (x+1)e^x\)。这是正确的，因为此时 \(\frac{dy}{dx}\) 已表示为 \(x\) 的函数，直接求导即可。标准答案中是通过参数方程求二阶导数公式得到 \(\frac{d^2y}{dx^2} = (1+t^2)[\ln(1+t^2)+1]\)，但利用 \(x = \ln(1+t^2)\) 即 \(e^x = 1+t^2\)，以及 \(\ln(1+t^2) = x\)，代入可得 \((1+t^2)[\ln(1+t^2)+1] = e^x (x+1)\)，与学生答案一致。因此，学生的思路和结果均正确。

根据评分要求，思路正确不扣分，计算无误，逻辑正确。因此，本题得分为满分10分。

题目总分：10分