评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

第一次识别结果：

• 代换正确：令 \( t = \arcsin x \)，积分限变为 \( 0 \) 到 \( \frac{\pi}{2} \)，正确。
• 积分表达式：\( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} t \sin^2 t \, dt \) 正确。
• 三角恒等式：\( \sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2} \) 正确。
• 但后续步骤出现逻辑错误：在展开后写为 \( \int t (1 - \cos^2 t) \, dt \)，这是错误的，因为 \( 1 - \cos^2 t = \sin^2 t \)，但这里应该是 \( \frac{1}{2} - \frac{\cos 2t}{2} \)，学生错误地写成了 \( 1 - \cos^2 t \)，导致后续积分错误。
• 后续步骤混乱，积分限和表达式不一致，且最后结果 \( \frac{\pi^2}{16} + \frac{1}{4} \) 虽然与标准答案一致，但中间过程有逻辑错误。
• 扣分：由于中间出现逻辑错误（错误使用三角恒等式和积分表达式），但最终结果正确，扣2分。
• 得分：8分。

第二次识别结果：

• 代换正确：令 \( t = \arcsin x \)，但积分限错误写为 \( 0 \) 到 \( \frac{\pi}{4} \)，应为 \( 0 \) 到 \( \frac{\pi}{2} \)。
• 积分表达式：\( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} t \sin^2 t \, dt \) 错误，积分限错误。
• 三角恒等式：\( \sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2} \) 正确。
• 后续步骤同样出现逻辑错误：写为 \( \int t (1 - \cos^2 t) \, dt \)，错误。
• 最后结果 \( \frac{\pi^2}{16} + \frac{1}{4} \) 虽然与标准答案一致，但积分限错误和中间逻辑错误导致结果不可靠。
• 扣分：积分限错误扣2分，逻辑错误扣2分，但最终结果正确，扣4分。
• 得分：6分。

根据两次识别结果，取较高分，即8分。

题目总分：8分