2008年考研数学（二）考试试题 - 第21题回答

评分及理由

（1）拉格朗日函数构造得分及理由（满分2分）

学生构造的拉格朗日函数为：$F = x^{2}+y^{2}+z^{2}+\lambda_{1}(z - x^{2}-y^{2})+\lambda_{2}(x + y+z - 4)$，与标准答案的构造方式在符号上有所不同（学生用$z - x^{2}-y^{2}$，标准答案用$x^2+y^2-z$），但这只是约束条件的等价变形，不影响后续计算。因此思路正确，不扣分。得2分。

（2）方程组建立得分及理由（满分4分）

学生建立的偏导方程组为：

• $\frac{\partial F}{\partial x}=2x - 2x\lambda_{1}+\lambda_{2}=0$
• $\frac{\partial F}{\partial y}=2y - 2y\lambda_{1}+\lambda_{2}=0$
• $\frac{\partial F}{\partial z}=2z+\lambda_{1}+\lambda_{2}=0$
• $\frac{\partial F}{\partial\lambda_{1}}=z - x^{2}-y^{2}=0$
• $\frac{\partial F}{\partial\lambda_{2}}=x + y+z - 4=0$

与标准答案相比，学生在第三个方程（关于z的偏导）中存在逻辑错误：标准答案为$2z - \lambda_1 + \lambda_2 = 0$，而学生得到的是$2z+\lambda_{1}+\lambda_{2}=0$。这是由于学生对约束条件$z - x^{2}-y^{2}=0$求偏导时符号处理错误。这是一个关键的计算错误，会导致后续解的不同。因此扣2分。得2分。

（3）计算结果得分及理由（满分4分）

学生给出的解为：$\begin{cases}x = 1\\y = 1\\z = 2\end{cases}$或$\begin{cases}x=-2\\y=-2\\z = 8\end{cases}$，与标准答案一致。计算出的函数值$u = 6$和$u = 72$，以及最大值72、最小值6的结论也都正确。虽然学生的方程组存在错误，但最终得到的解和极值结果与标准答案相同，这可能是因为在具体求解过程中错误相互抵消，或者学生实际上使用了其他方法（如代入法）进行求解。考虑到题目要...

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