评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答基本正确，但在二阶偏导数的表示和系数整理上存在一些逻辑错误。

• 学生使用 \(g_{11}'', g_{12}'', g_{21}'', g_{22}''\) 表示二阶偏导，但未明确说明这些符号的含义（例如 \(g_{11}'' = \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2}, g_{12}'' = \frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta}\) 等），这可能导致混淆，但根据上下文可以推断其意图。由于是符号表示问题且不影响核心逻辑，不扣分。
• 在计算 \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\) 时，学生写为 \(g_{11}'' + g_{12}'' + g_{21}'' + g_{22}''\)，但标准答案为 \(\frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} + 2\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} + \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2}\)。学生的表达式缺少系数2，且未区分混合偏导的对称性（即 \(g_{12}''\) 和 \(g_{21}''\) 应合并），这是一个逻辑错误，扣1分。
• 在 \(\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}\) 的表达中，学生写为 \(a g_{11}'' + b g_{12}'' + a g_{21}'' + b g_{22}''\)，但标准答案为 \(a \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} + (a+b) \frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} + b \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2}\)。学生的表达式未合并混合偏导项（即 \(g_{12}''\) 和 \(g_{21}''\) 应视为相同），导致系数错误，扣1分。
• 在代入原方程整理后，学生得到 \((5a^2+12a+4)g_{11}'' + (5ab+4+12a)g_{21}'' + (5ab+4...