评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答整体思路正确，从极坐标转换为直角坐标的过程与标准答案一致，积分区域转换正确。在计算内层积分时，使用了正确的变量代换方法，得到 \(\frac{1}{3}\int_{0}^{1}[1-(1-x^2)^{3/2}]dx\) 这一步是正确的。

但在计算 \(\int_{0}^{1}(1-x^2)^{3/2}dx\) 时存在逻辑错误：学生使用了代换 \(x = \sin t\)，但积分上下限应为从0到1对应从0到\(\pi/2\)，而学生写的是从0到\(\pi/2\)，这里正确。然而在计算 \(\int_{0}^{\pi/2}\cos^3 t \cdot \cos t dt = \int_{0}^{\pi/2}\cos^4 t dt\) 时，学生直接得出结果为 \(\frac{3}{16}\pi\)，这是正确的（因为 \(\int_{0}^{\pi/2}\cos^4 t dt = \frac{3\pi}{16}\)），但学生写的是 \(\frac{3}{16}\pi\) 而不是 \(\frac{3\pi}{16}\)，这可能是书写格式问题。

最终结果 \(\frac{1}{3}-\frac{1}{16}\pi\) 与标准答案 \(\frac{1}{3}-\frac{\pi}{16}\) 一致。

扣分项：第一次识别结果中有一处书写不完整"\(\int_{0}^{1}dy\int_{y}^{1}\sqrt{1 + y^{2}-x^{2}}d\cdots\)"，但第二次识别完整且正确。考虑到这是识别问题，不扣分。

得分：10分（无明显逻辑错误，最终结果正确）

题目总分：10分