评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答与标准答案思路基本一致，通过构造辅助函数 \(F(x) = f(x) - \frac{x^3}{3}\)，并在区间 \([0,\frac{1}{2}]\) 和 \([\frac{1}{2},1]\) 上分别应用拉格朗日中值定理，最终得到所需结论。核心逻辑正确，证明过程完整。

但存在以下问题：

• 在第一次识别中，学生写 \(F(1) = 1\)，但实际应为 \(F(1) = f(1) - \frac{1^3}{3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = 0\)。这是一个计算错误，但并未影响后续的拉格朗日中值定理应用和结论推导，因为定理应用时只用到函数在端点值的差，而 \(F(1) - F(\frac{1}{2})\) 的计算实际上不依赖于 \(F(1)\) 的单独数值。考虑到上下文，这可能是误写，且未导致逻辑断裂，故不扣分。
• 在第二次识别中，存在语句不完整："使得 \(\frac{F(\frac{1}{2}) - F(0)}{\frac{1}{2}-0}\)"，但紧接着写出了完整的拉格朗日公式。这可能是识别错误或书写不严谨，但核心等式已给出，不影响逻辑判断。

因此，整体证明正确，扣0分，得10分。

题目总分：10分