评分及理由

（1）得分及理由（满分2分）

学生正确利用特征值定义 \(A\xi_1 = \lambda_1 \xi_1\) 求出 \(a = -1\) 和 \(\lambda_1 = 2\)，计算过程虽有书写混乱（如第一次识别中矩阵乘法结果写错），但最终结果正确。根据“误写不扣分”原则，不扣分。得2分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生正确计算了特征多项式并得到特征值 \(\lambda_2 = -4, \lambda_3 = 5\)，但在求特征向量时存在以下问题：
- 第一次识别中 \(\lambda_2\) 对应的特征向量符号与标准答案相反（但单位化后方向不影响正交矩阵），且 \(\lambda_3\) 的特征向量单位化结果正确；
- 第二次识别中 \(\lambda_2\) 的特征向量单位化结果正确，但 \(\lambda_3\) 的特征向量单位化结果与标准答案相同；
- 但两次识别中特征向量的求解过程基本正确，仅存在书写不规范或步骤简化。
根据“误写不扣分”和“思路正确不扣分”原则，扣1分（因部分步骤书写混乱，但核心逻辑正确）。得4分。

（3）得分及理由（满分4分）

学生最终给出的正交矩阵 \(Q\) 在两次识别中均存在列向量顺序或符号错误：
- 第一次识别中第二列符号与标准答案相反，但第三列正确；
- 第二次识别中矩阵列顺序完全错误，且单位化结果不一致。
由于正交矩阵的列顺序和符号需严格对应特征值，此处存在逻辑错误，扣2分。得2分。

题目总分：2+4+2=8分