评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案是"1"。根据题目要求，需要计算隐函数 \(y=y(x)\) 在 \(x=0\) 处的二阶导数绝对值。

首先验证当 \(x=0\) 时：代入原方程 \(0^2 - y + 1 = e^y\)，即 \(1 - y = e^y\)，解得 \(y=0\)（这是唯一解，因为函数 \(f(y)=1-y-e^y\) 严格单调递减）。

对原方程两边关于 \(x\) 求导：\(2x - y' = e^y y'\)。

当 \(x=0, y=0\) 时：\(0 - y' = e^0 y'\)，即 \(-y' = y'\)，所以 \(y'=0\)。

再求二阶导：对一阶导方程两边求导得 \(2 - y'' = e^y (y')^2 + e^y y''\)。

代入 \(x=0, y=0, y'=0\)：\(2 - y'' = 0 + 1 \cdot y''\)，即 \(2 - y'' = y''\)，解得 \(y''=1\)。

因此 \(|\frac{d^2 y}{dx^2}|_{x=0} = |1| = 1\)，学生答案正确。

得4分。

题目总分：4分